高二數學選修2-1知識點總結
導語：對于所學知識，我們應當作出總結。以下是小編整理的高二數學選修2-1知識點總結，供各位閱讀和參考。
基礎梳理
1．簡單的邏輯聯結詞
(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯結詞．
(2)簡單復合命題的真值表：
2.全稱量詞與存在量詞
(1)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等．
(2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等．
(3)全稱量詞用符號“”表示；存在量詞用符號“”表示．
3．全稱命題與特稱命題
(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題．
(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題．
4．命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．
(2)p或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.
一個關系
邏輯聯結詞與集合的關系
“或、且、非”三個邏輯聯結詞，對應著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯結詞構成的命題問題．
兩類否定
1．含有一個量詞的命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題
全稱命題p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)．
(2)特稱命題的否定是全稱命題
特稱命題p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)．
2．復合命題的否定
(1)非(p∧q)(p)∨(q)；
(2)非(p∨q)(p)∧(q)．
三條規律
(1)對于“p∧q”命題：一假則假；
(2)對“p∨q”命題：一真則真；
(3)對“p”命題：與“p”命題真假相反．
雙基自測
1．(人教A版教材習題改編)已知命題p：x∈R，sin x≤1，則( )．
A．p：x0∈R，sin x0≥1 B．p：x∈R，sin x≥1
C．p：x0∈R，sin x0>1 D．p：x∈R，sin x>1
解析 命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題．
答案 C
2．(2011·北京)若p是真命題，q是假命題，則( )．
A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題
C．p是真命題 D．q是真命題
解析 本題考查命題和邏輯聯結詞的基礎知識，意在考查考生對邏輯聯結詞的理解運用能力．只有q是真命題．
答案 D
3．命題p：若a，b∈R，則|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要條件．命題q：函數y＝的定義域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)則()．
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真
C．p真q假 D．p假q真
答案 D
4．設p、q是兩個命題，則復合命題“p∨q為真，p∧q為假”的充要條件是()．
A．p、q中至少有一個為真 B．p、q中至少有一個為假
C．p、q中有且只有一個為真 D．p為真、q為假
答案 C
5．(2010·安徽)命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．
答案 存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
考向一 含有邏輯聯結詞命題真假的判斷
【例1】(2010·新課標全國)已知命題p1：函數y＝2x－2－x在R上為增函數，p2：函數y＝2x＋2－x在R上為減函數，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命題是()．
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[審題視點] 根據復合函數的單調性判斷p1，p2的真假．
解析 可判斷p1為真，p2為假；則q1為真，q2為假，q3為假，q4為真．
答案 C
“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題真假的判斷步驟：(1)確定命題的構成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題的真假．
【訓練1】 已知命題p：x0∈R，使sin x0＝25；命題q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.給出下列結論
①命題“p∧q”是真命題； ②命題“p∨q”是假命題；
③命題“p∨q”是真命題； ④命題“p∨q”是假命題．
其中正確的是()．
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
解析 命題p是假命題，命題q是真命題，故③④正確．
答案 C
考向二 全稱命題與特稱命題
【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假．
(1)p：x∈R，x2－x＋41≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一個實數x0，使x03＋1＝0.
[審題視點] 改變量詞，否定結論，寫出命題的否定；判斷命題的真假．
解 (1)p：x0∈R，x02－x0＋41＜0，假命題．
(2)q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命題．
(4)s：x∈R，x3＋1≠0，假命題．
全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結論．而一般命題的否定只需直接否定結論即可．
【訓練2】 寫出下列命題的否定，并判斷真假．
(1)p：x∈R，x不是3x－5＝0的根；
(2)q：有些合數是偶數；
(3)r：x0∈R，|x0－1|＞0.
解 (1)p：x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命題．
(2)q：每一個合數都不是偶數，假命題．
(3)r：x∈R，|x－1|≤0，假命題．
考向三 根據命題的真假，求參數的取值范圍
【例3】(2012·浙大附中月考)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負實數根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．
[審題視點] 先解不等式將命題p與命題q具體化，然后根據“p或q”與“p且q”的條件可以知道命題p與命題q一真一假，從而求出m的取值范圍．
解 由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，則m＞2.
由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
則1＜m＜3.
又∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p與q一真一假．
①當p真q假時，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；
②當p假q真時，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.
∴m的取值范圍為m≥3或1＜m≤2.
含有邏輯聯結詞的命題要先確定構成命題的(一個或兩個)命題的真假，求出此時參數成立的條件，再求出含邏輯聯結詞的命題成立的條件．
【訓練3】 已知a＞0，設命題p：函數y＝ax在R上單調遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立．若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍．
解 ∵函數y＝ax在R上單調遞增，∴p：a＞1.
不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立，
∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.
∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，
∴p、q中必有一真一假．
①當p真q假時，a≥4，a＞1，得a≥4.
②當p假q真時，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.
故a的取值范圍為(0,1]∪[4，＋∞)．
規范解答1——借助常用邏輯用語求解參數范圍問題
【問題研究】 利用常用邏輯用語求解參數的取值范圍主要涉及兩類問題：一是利用一些含有邏輯聯結詞命題的真假來確定參數的取值范圍；二是利用充要條件來確定參數的取值范圍.求解時，一定要注意取值區間端點值的檢驗，處理不當容易出現漏解或增解的現象.,
【解決方案】 解決此類題目首先是合理轉化條件、運用有關性質、定理等得到參數的方程或不等式，然后通過解方程或不等式求得所求問題.
【示例】 已知c＞0，且c≠1，設p：函數y＝cx在R上單調遞減；q：函數f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數c的取值范圍．
(1)p，q真時，分別求出相應的c的范圍；
(2)用補集的思想求出p，q分別對應的c的范圍；(3)根據“p∧q”為假、“p∨q”為真，確定p，q的真假．
[解答示范] ∵函數y＝cx在R上單調遞減，
∴0＜c＜1.
即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數，
∴c≤21.即q：0＜c≤21.
∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.
又∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，∴p真q假或p假q真．
①當p真，q假時，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；
②當p假，q真時，{c|c＞1}∩21＝.
綜上所述，實數c的取值范圍是＜c＜11.
解決此類問題的關鍵是首先準確地把每個條件所對應的參數的取值范圍求出來，然后轉化為集合交、并、補的基本運算．
【試一試】 設p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實根．求使p∨q為真，p∧q為假的實數m的取值范圍．
[嘗試解答] 由x1＋x2＝－2m＞0，Δ1＝4m2－4＞0，得m＜－1.
∴p：m＜－1；
由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，
知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.
由p∨q為真，p∧q為假可知，命題p，q一真一假，
當p真q假時，m≥3或m≤－2，m＜－1，此時m≤－2；
當p假q真時，－2＜m＜3，m≥－1，此時－1≤m＜3.
∴m的取值范圍是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．
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